"Every repeating decimal hides a fraction inside."
$0.\dot{3} \to \dfrac{1}{3}$. 끝없이 반복되는 소수도 결국 분수로 돌아간다. 유리수의 두 얼굴이 완성된다.
"$0.333\ldots$가 정말 분수일까? 끝없이 계속되는데?" — 직관적으로 답하기 어렵지만, $10$배의 마법을 쓰면 단 두 줄로 증명된다.
$x = 0.\dot{3}$이라 두자. 양변에 $10$을 곱하면 $10x = 3.\dot{3}$. 두 식을 빼면 $9x = 3$, 따라서 $x = \dfrac{1}{3}$. 끝없이 이어지는 소수도 결국 분수로 표현 가능합니다 — 이것이 이 단원의 핵심 발견입니다.
유한소수도 분수, 순환소수도 분수. 즉, 유리수(rational number) = 유한소수 또는 순환소수의 집합. 정수의 비율로 표현 가능한 모든 수가 유리수이고, 분수와 소수의 두 얼굴로 자유롭게 변환됩니다.
유리수를 뜻하는 기호 $\mathbb{Q}$는 영어 quotient("몫"이라는 뜻)에서 유래합니다. 라틴어 ratio("비")에서 갈라져 나온 단어로, 유리수는 곧 "두 정수의 비"입니다. $\mathbb{Q} = \{\dfrac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z}, q \ne 0\}$.
$2$학년의 큰 발견 중 하나가 — "분수, 유한소수, 순환소수가 사실은 모두 한 식구"라는 사실. 이 단원에서 그 변환의 알고리즘을 익힙니다.
순환소수 → 분수 (10배 빼기) → 공식 → 유리수 정의 → 사칙연산까지.
$10$배 빼기의 마법. $x$를 두고 식을 세워 분수로 되돌린다.
순환마디·비순환부의 길이를 보면 분모를 즉시 결정하는 공식.
정수의 비로 나타낼 수 있는 모든 수. 유한소수와 순환소수가 그 두 얼굴.
순환소수끼리도 더하고 빼고 곱하고 나누기 — 분수로 변환 후 계산.
12문제로 순환소수↔분수·유리수 체계 점검.
분수와 소수를 자유롭게 오가는 6단계 변환사 프로젝트.